Итоги выполнения основной части работы (задания 1-7) позволяют сделать вывод о том, что около 70% учащихся девятых общеобразовательных классов достигают уровня обязательной подготовки по курсу алгебры 7-9 классов. Эти учащиеся выполнили верно 6 и более заданий обязательного уровня. При этом всего 81% учащихся верно выполнили 5 и более обязательных заданий.

В то же время выявилась группа девятиклассников, которые выполнили верно только 4 задания из 7 обязательных (8%) или 3 и менее обязательных заданий (11%). Обязательная алгебраическая подготовка этих учащихся имеет существенные пробелы. Опыт показывает, что они нуждаются в специальном коррекционном обучении, чтобы освоить общеобразовательный курс математики 10-11 классов.

Результаты работы показывают существенные различия в овладении девятиклассниками отдельными умениями. Так, учащиеся вполне удовлетворительно владеют на обязательном уровне следующими умениями: нахождение значения буквенного выражения при заданных значениях букв (от 86% до 96% верных ответов); преобразование целых выражений (от 76% до 84%); сокращение дробей (от 94% до 96%); действия с дробями (от 85% до 86%). Удовлетворительными также можно считать результаты, которые учащиеся показали при проверке на обязательном уровне умений: решать линейные уравнения (от 86% до 93%) и квадратные уравнения (от 68% до 91%); системы линейных уравнений с двумя переменными (81%); линейные неравенства с одной переменной (от 69% до 77%). Большинство учащихся овладели на обязательном уровне умением строить графики функций. Так, с заданиями на построение графиков прямой пропорциональности справились 88% учащихся, линейной функции общего вида - 83 %, квадратичной функции - от 76% до 83%.

В то же время выделились умения, по которым значительная часть учащихся не достигает обязательного уровня. Так, с решением предложенных систем уравнений второй степени с двумя переменными справились от 57% до 70% учащихся. Аналогичная картина наблюдается при решении систем линейных неравенств. Число учащихся, которые смогли получить верный ответ при решении несложной системы линейных неравенств, находится в пределах от 58% до 61%.

Процент выполнения заданий повышенного уровня колеблется от 36% до 80%. Наибольшие затруднения вызвали задание 8 (варианта 1) на нахождение области определения функции (38%) и все текстовые задачи на составление уравнения или неравенства (от 36% до 40%).

При этом явно проявилось различие в оценке трудности этих заданий самими учащимися. Если к заданию 8 не приступили около 25% учащихся и низкий процент его выполнения связан с ошибками, допущенными при решении правильно составленного квадратичного неравенства, то к решению последних в работе текстовых задач не приступили от 37% до 45% писавших работу.

Анализ результатов выполнения каждого задания работы и выборочная перепроверка работ учащихся позволяют более детально охарактеризовать состояние умений, составляющих базовую алгебраическую подготовку по курсу 7-9 классов.

Необходимо отметить, что лишь в единичных случаях учащиеся не приступали к выполнению заданий обязательного уровня (задания 1-7). В ходе их выполнения они проявляли знание формул и правил, показывали владение основными алгебраическим алгоритмами.

К заданию на нахождение значения буквенного выражения практически приступают все учащиеся. Они проявляют умение правильно определить порядок действий, крайне редко допускают ошибки в расчетах.

Результаты выполнения заданий на тождественные преобразования позволяют сделать вывод о достаточно хорошем усвоении учащимися алгоритмов выполнения действий с целыми и дробными выражениями, а также со степенями с целыми показателями. Наибольшие затруднения вызвало задание на разложение на множители многочлена 5a-10ab+5b, при выполнении которого некоторые ученики останавливались на первом шаге - вынесении множителя 5 за скобки.

Следует отметить, что не проявились такие распространенные ранее ошибки как сокращение дроби на слагаемое, неправильное применение формул сокращенного умножения. В целом ошибки, допущенные здесь некоторыми учениками, носят случайный характер, о чем свидетельствует правильное выполнение этими учениками аналогичных выкладок в последующих заданиях.

Основной массив учащихся успешно справляется с решениями линейных и квадратных уравнений, а также систем линейных уравнений с двумя переменными. В то же время решение системы уравнений второй степени с двумя переменными у многих учащихся вызвало затруднение. Результаты проверки показали, что учащиеся не владеют многошаговым алгоритмом решения таких систем: они заканчивали решение нахождением значения переменных, удовлетворяющие системе, и т.п. Это объясняется комплексным характером соответствующего умения, которое включает в себя несколько других базовых умений - выражать одну переменную через другую, выполнять тождественные преобразования, решать квадратное уравнение т.п., в силу чего вероятность ошибки повышается.

Анализ значимости умения решать системы уравнений для изучения математики и смежных дисциплин показывает, что в отношении его можно снизить уровень обязательных требований, ограничившись только системами линейных уравнений.

При решении линейных неравенств с одной переменной по-прежнему допускается ошибка, состоящая в сохранении знака неравенства при делении его частей на отрицательное число. Эта ошибка связана с неправильным переносом алгоритма решения линейных уравнений на линейные неравенства.

Ошибки, допускаемые учащимися при решении систем линейных неравенств, проявляются как в процессе решения отдельных неравенств, так и на заключительном шаге, когда требуется найти пересечение множеств решений двух неравенств. Таким образом, как и при решении систем уравнений второй степени с двумя переменными на результаты влияет комплексный характер соответствующего умения. Однако уровень владения этим умением оказывает существенное влияние на изучение последующего материала. Поэтому нецелесообразно снижать уровень обязательных требований к овладению умением решать системы линейных неравенств, а следует совершенствовать методику его формирования, сложившуюся в школьной практике.

Результаты выполнения обязательных заданий функционального характера позволяют сделать вывод, что большинство учащихся достаточно хорошо видят связь между формулой и соответствующим геометрическим образом. Ошибки, допускаемые отдельными учениками, связаны, в основном, с неправильным вычислением координат точек, принадлежащих графику.

Проверка выполнения заданий повышенного уровня показала, что с заданиями на чтение графиков эмпирических зависимостей учащиеся справились вполне удовлетворительно (от 60% до 81%). При этом они показали умение находить: значение одной величины в зависимости от значений другой; промежутки возрастания функции; промежутки ее постоянства и т.п.

С заданием на нахождение области определения сложной функции справились значительно хуже: только 38% правильно ответили на этот вопрос. Причем около 60% учеников показали знание области определения квадратного корня - правильно записали соответствующее неравенство для подкоренного выражения. При этом значительная часть этих учащихся допустила ошибки при решении составленного ими квадратичного неравенства.

Около 60% учащихся справились с заданием на упрощение "многоэтажной" дроби. Ошибки, допущенные школьниками, в основном связаны с непониманием конструкции данного выражения.

Всего 36%-40% учащихся верно решили текстовые задачи (задание 9). В двух вариантах (1 и 3) предлагались традиционные стандартные задачи на составление уравнения, которые достаточно представлены в стабильных учебниках алгебры. Два других варианта содержат непривычные для наших учащихся задачи практического характера, математической моделью которых может быть как уравнение, так и неравенство. Подобные задачи крайне редко встречаются в учебниках, и учителя не ориентированы на обучение учащихся решению таких задач. При этом нужно заметить, что зависимости величин, о которых говорится в условиях задач, представленных в работе, достаточно просты.

В данном исследовании подтверждается тенденция, отмеченная в ранее проведенных проверках. А именно, если в работе избыточное число заданий и учащемуся предоставляется право выбора заданий, то обычно около 40%-50% учащихся выбирают текстовую задачу независимо от ее сложности.

Проверка показала, что результаты выполнения задач разного типа в вариантах 1-4 примерно одинаковые. Таким образом, для ученика, овладевшего умением решать задачи, неважно, какую модель решения надо построить (например, уравнение или неравенство) и решал ли он раньше задачи такого типа.

Анализ результатов позволяет придти к заключению об определяющем влиянии успешного овладения обязательным уровнем подготовки на выполнение заданий продвинутого уровня. Подавляющее большинство учащихся, сделавших верно одно или оба задания повышенного уровня сложности, показало также владение обязательным уровнем (выполнили верно 6 и более обязательных заданий работы). В то же время среди тех, кто не справился с обязательной частью работы, очень небольшая часть учащихся верно решила хотя бы одно из продвинутых заданий.

Таким образом, овладение обязательными результатами является той основой, которая обеспечивает достижение более высокого уровня овладения материалом.

 

Об исследовании

Участники

Результаты

Материалы